Ну, Адлер - это еще пока Россия
Бывал в Абхазии многократно и до и после войны. Последний раз был три года назад, поэтому информация может кое в чем устареть. Итак.
1. Слухи такие многократно слышал, однако о конкретных случаях угона не знаю. Думаю, что статистика угоняемости в Абхазии не намного отличается от Российской. Лучшее подтверждение этому - многочасовая очередь автомобилей на границе. Если собираешься останавливаться в частном секторе - договаривайся с хозяевами, чтобы машина стояла во дворе, и гуляй спокойно. В большинстве пансионатов въезд-выезд охраняемый, но расслабляться и бросать машину открытой не рекомендую, отношение местного населения к исполнению своих служебных обязанностей крайне раздолбайское. Можно оставить машину на российской стороне на стоянке в Адлере или Веселом, экономится время и нервы при переходе границы, но свобода передвижения будет потеряна.
2. Абхазские гаишники - достойные продолжатели дела российских

. Но сильно это не напрягает, тк в подавляющем большинстве они достаточно вежливы и обходятся малой мздой. У меня как-то после дискуссии о правильности проезда перекрестка человек сдав свои позиции честно попросил червонец на пиво, тк стоять на солнцепеке очень жарко. Надо сказать, что гаишников в Абхазии много, а платят им, видимо, очень мало. Многие из них ветераны войны и просто ничего другого делать не умеют. Твердой таксы за нарушение правил в Абхазии, по моему, вообще не существует, так что торг уместен.
После пересечения границы в течение, если мне не изменяет память, трех суток, автомобиль должен быть зарегистрирован в райотделе ГАИ того района, в котором Вы остановитесь. Так что, выездную таможенную декларацию (российскую) не выбрасывайте. Мне в последний раз это сделать так и не удалось, хотя я честно пытался получить свидетельство о регистрации, отрывая драгоценное время от отдыха. Но... то райотдел в разгар рабочего дня оказался закрытым, то к работнику, занимающемуся регистрацией, приехали гости, то оказалось, что регистрационных бланков нет, их должны привезти, но неизвестно когда. В ответ на мой вопрос "а как же ездить?" мне советовали ездить спокойно, если остановят "скажи, что ты у нас был". Как ни странно, это все воспринимали с пониманием, и со словами "ну да, но надо все-таки зарегистрироваться", отпускали с миром.
Многолетняя западня. Переехав через мостик после долгого стояния в очереди и сурового досмотра на российской стороне, окрыленный мгновенным прохождением абхазской таможни, человек начинает движение по независимому абхазскому государству какими-то задворками по отвратительной щебеночной дороге. И вдруг выезжает на асфальт, который поворачивает на запрещающий знак. А ехать не под знак надо по такой же щебенке, причем прямиком назад в направлении опостылевшей границы. Человек останавливается в недоумении, обращается за советом к местному населению, которое, искренне убежденное что знаки развешивают дабы усложнить достойным людям жизнь, советует ехать под знак так как "ну да, эта дорога и идет прямо в Гагру". После этого вы попадаете на пост ГАИ, где с вас радостно вымогают "на бутылочку шампанского", обещая выпить его за ваше здоровье. На самом деле, надо не ехать под знак, а продолжать ехать по щебенке в направлении границы, там она поворачивает на 180 градусов и переходит в сухумское шоссе. Кстати, дороги в Абхазии не ремонтировались со времен СССР, так что погонять не удастся
3. Устроиться в гостиницу, пансионат, или в частном секторе в Абхазии не проблема. Первые настойчивые предложения устроиться в частном секторе начнут поступать в очереди на границе на российской стороне. В большинстве случаев это в Леселидзе и Гантиади (сейчас эти места называются по другому, не помню как), но на мой вкус настоящие прелести Абхазии начинаются от Гагры. Цена места в приличном пансионате с питанием составляла 15-20$, частный сектор - существенно дешевле чем в России. Кормят, как правило, хорошо.
Вообще, на мой взгляд, сегодня Абхазия - лучшее место для отдыха из доступных на автомобиле.